Generators and Relations in Groups and Geometries - 9789401054966

Każda grupa jest reprezentowana na wiele sposobów jako epimorficzny obraz wolnej grupy. Poszukiwanie metod wykorzystujących generatory i relacje, które można wykorzystać do wykrywania struktury grupy, wydaje się zatem daremne. Niemniej jednak istnieją wyniki we wskazanym kierunku. Grunt to zadać właściwe pytanie. Geometria klasyczna jest typowym przykładem, w którym faktoryzacja ruchu na odbicia lub, bardziej ogólnie, kolineacja w centralne kolineacje dostarcza cennych informacji na temat struktury geometrycznej i algebraicznej. Ten sposób badań nabrał tempa od końca ubiegłego wieku. Tradycja wzajemnych zależności geometryczno-algebraicznych wysunęła dwie gałęzie badań, które są udokumentowane w częściach I i II niniejszego Postępowania. Część II dotyczy teorii geometrii odbicia, której kulminacją jest praca Bachmanna, w której informacja geometryczna jest zakodowana we właściwościach grupy ruchów wyrażonych relacjami w generujących inwolucjach. Podejście to stanowi podstawę klasyfikacji grup ruchu dla klasycznych płaszczyzn unitarnych i ortogonalnych. Aksjomaty tej charakterystyki są naturalne i wiarygodne. Prowokują do badania konsekwencji podzbiorów aksjomatów, które również dają naturalne geometrie, których eksploracja jest satysfakcjonująca. Centralnym aksjomatem Bachmanna jest twierdzenie o trzech odbiciach, pokazujące, że liczba odbić potrzebnych do wyrażenia ruchu ma ogromne znaczenie.