Generators and Relations in Groups and Geometries - 9789401054966

Iga rühm on mitmel viisil esindatud vaba rühma epimorfse kujutluspildina. Seetõttu tundub mõttetu otsida meetodeid, mis hõlmavad generaatoreid ja seoseid, mida saab kasutada rühma struktuuri tuvastamiseks. Sellest hoolimata on tulemused näidatud suunas olemas. Vihje on õige küsimuse esitamine. Klassikaline geomeetria on tüüpiline näide, mille puhul liikumise faktoriseerimine peegeldusteks või üldisemalt kollineatsiooni tsentraalseteks kollineatsioonideks annab väärtuslikku teavet geomeetrilise ja algebralise struktuuri kohta. See uurimisviis on saanud hoogu alates eelmise sajandi lõpust. Geomeetrilise-algebralise koosmängu traditsioon tõi esile kaks uurimisharu, mis on dokumenteeritud käesolevate tööde I ja II osas. II osas käsitletakse peegeldusgeomeetria teooriat, mis kulmineerus Bachmanni tööga, kus geomeetriline informatsioon on kodeeritud liikumiste rühma omadustesse, mida väljendatakse genereerivates involutsioonides olevate suhetega. See lähenemisviis on klassikaliste unitaar- ja ortogonaalsete tasandite liikumisrühmade klassifikatsiooni selgroog. Selle iseloomustuse aksioomid on loomulikud ja usutavad. Need provotseerivad aksioomide alamhulkade tagajärgede uurimist, mis annavad ka looduslikke geomeetriaid, mille uurimine on rahuldust pakkuv. Bachmanni keskne aksioom on kolme peegelduse teoreem, mis näitab, et liikumise väljendamiseks vajalike peegelduste arv on väga oluline.