Different Faces of Geometry - 9780306486579

Różne oblicza geometrii – pod redakcją światowej sławy geometrów S. Donaldson, Ya. Eliashberg i M. Gromov - przedstawiają stan obecny, nowe wyniki, oryginalne pomysły i otwarte pytania z następujących ważnych tematów współczesnej geometrii: Te pozornie różnorodne tematy mają wspólną cechę, ponieważ wszystkie są obszarami ekscytującej bieżącej działalności. Redakcja pozyskała imponującą grupę czołowych specjalistów, którzy napisali rozdziały do tego tomu: G. Mikhalkin (USA-Kanada-Rosja), VD Milman (Izrael) i AA Giannopoulos (Grecja), C. LeBrun (USA), Ko Honda ( USA), P. Ozsvath (USA) i Z. Szabo (USA), C. Simpson (Francja), D. Joyce (Wielka Brytania) i P. Seidel (USA) oraz S. Bauer (Niemcy). Można wyróżnić różne tematy przewijające się w różnych wpisach. Pewien nacisk położony jest na niezmienniki definiowane przez równania eliptyczne i ich zastosowania w topologii niskowymiarowej, geometrii symplektycznej i kontaktowej (Bauer, Seidel, Ozsvath i Szabo). Idee te pojawiają się bardziej stycznie w artykułach Joyce’a, Hondy i LeBruna. Tutaj i gdzie indziej, oprócz wyjaśnienia szybkiego postępu, jaki nastąpił, artykuły przekazują wspaniały obraz rozległych obszarów leżących poza naszym obecnym zrozumieniem. Artykuł Simpsona podkreśla potrzebę nowych, ciekawych konstrukcji (w tym przypadku Kahlera i rozmaitości algebraicznych), co Bauer podnosi również w kontekście 4-rozmaitości i hipotezy 11/8. Artykuł LeBruna przedstawia inną perspektywę na teorię 4-rozmaitości, poprzez geometrię Riemanna i trudne pytania otwarte dotyczące geometrii nawet dobrze znanych 4-rozmaitości. Istnieją również uderzające kontrasty między artykułami. Autorzy przyjęli różne podejścia: na przykład przemyślany esej Simpsona, nowe wyniki badań LeBruna i szczegółowe wyjaśnienia dotyczące problemów domowych Hondy. Można także zastanowić się nad różnicami w stylu matematyki. W artykułach Hondy, Giannopoulosa i Milmana oraz Mikhalkina geometria jest obecna w bardzo żywy i namacalny sposób, łącząc się odpowiednio z topologią, analizą i algebrą. Z kolei prace Bauera i Seidela wskazują, że abstrakcja algebraiczna i algebraiczno-topologiczna (kategorie triangulacyjne, widma) może w bardzo nieoczekiwany sposób odgrywać ważną rolę w konkretnych problemach geometrycznych. — Z przedmowy redakcji