Integrable Geodesic Flows on Two-Dimensional Surfaces - 9781461369332

Przepływy geodezyjne metryk riemannowskich na rozmaitościach są jednymi z klasycznych obiektów geometrii. Szczególne miejsce wśród nich zajmują całkowalne przepływy geodezyjne. Rozważamy je w kontekście ogólnej teorii całkowalnych układów hamiltonowskich, a w szczególności z punktu widzenia nowej topologicznej teorii klasyfikacji, która została niedawno opracowana dla całkowalnych układów hamiltonowskich o dwóch stopniach swobody. W rezultacie przekonamy się, że takie nowe podejście jest bardzo przydatne do głębszego zrozumienia topologii i geometrii całkowalnych przepływów geodezyjnych. Głównym przedmiotem badań w naszej pracy jest klasa całkowalnych przepływów geodezyjnych na powierzchniach dwuwymiarowych. Istnieje wiele takich przepływów na powierzchniach małego rodzaju, w szczególności na kuli i torusie. Natomiast na powierzchniach rodzaju 9 > 1 w przypadku analitycznym takich przepływów nie ma. Jeden z najważniejszych i najbardziej interesujących problemów polega na klasyfikacji przepływów całkowalnych do różnych relacji równoważności, takich jak (1) izometria, (2) równoważność Liouville'a, (3) równoważność trajektorii (gładka i ciągła) oraz (4 ) równoważność geodezyjna. W ostatnich latach opracowano nową technikę, która w szczególności daje możliwość klasyfikacji całkowalnych przepływów geodezyjnych aż do tego rodzaju równoważności. Technikę tę przedstawiono w naszym artykule wraz z różnymi zastosowaniami. Pierwsza część naszej książki, a mianowicie Rozdz.